Фамилия Шавадзе — яркий пример грузинской модели образования фамилий. Вам не нужно искать славянский суффикс -ов или -ин, потому что основа здесь другая. Фамилия построена по типичному для Западной Грузии принципу: к основе «Шава» добавляется патронимический суффикс «-дзе». В грузинском языке «-дзе» (ძე) буквально означает «сын» (ср. с русским «-ович»). Таким образом, Шавадзе — это «сын Шавы», то есть потомок человека по имени или прозвищу Шава.

Сама основа «Шава» (შავა) в переводе с грузинского означает «черный», «темный», «смуглый». Скорее всего, прозвище Шава дали человеку с очень темными волосами, смуглой кожей или просто смуглому лицу. В грузинской антропонимике такие цветовые прозвища — частое явление: они описывали внешность, а не характер. Поэтому ваш предок, вероятно, был заметно темноволосым или темнокожим по сравнению с окружающими.

Географически фамилия Шавадзе наиболее распространена в регионе Гурия (Западная Грузия), а также встречается в Имеретии и Аджарии. Это область, где суффикс «-дзе» является доминирующим, в отличие от восточногрузинского «-швили». Если вы встретите вариант написания «Шавадзе» с ударением на втором слоге, это норма для грузинского произношения.

С социальной точки зрения, фамилия не указывает на княжеское или дворянское происхождение. В Грузии «-дзе» — самый массовый фамильный формант, который носили и крестьяне, и ремесленники, и священники. Никаких дополнительных сословных маркеров в этой фамилии нет. Это просто указание на родство: «из рода черного (смуглого) человека».