Фамилия Шавровская — редкий пример, где суффикс указывает на географию точнее, чем основа. Типичное окончание -ский выдает дворянское или шляхетское происхождение, но здесь оно не притяжательное (не «чей?»), а топонимическое — «откуда родом». Носитель фамилии — выходец из места с названием Шавры или Шаврово.

С корнем сложнее. Самая вероятная версия — от прозвища Шавра. В псковских и тверских говорах «шавра» — неряха, неопрятный человек, иногда — плакса. Слово звукоподражательное: «шаврить» означало шаркать, тереть, отсюда же «шавка» (собака с хриплым лаем). Прозвище могли дать за небрежный вид или за манеру шаркать при ходьбе. Менее убедительна связь с литовским šávras (серый, пегий) — маловероятно для русской фамилии, хотя в западных регионах контакты с балтскими языками возможны.

Топоним Шавры известен: есть деревня Шавры в Псковской области (бывший Опочецкий уезд), а также Шаврово в Смоленской и Тверской губерниях. Фамилия Шавровский (и её женская форма Шавровская) фиксируется в документах XIX века именно в этих краях, преимущественно среди мелкопоместных дворян и однодворцев. Если предок получил фамилию по названию имения или села, то он, скорее всего, принадлежал к служилому сословию — шляхте или детям боярским, которые владели землей в Шаврах.

В отличие от массовых фамилий на -ов/-ин, Шавровская сохраняет связь с конкретным местом, а не с родом занятий. Встречается она редко: носители рассеяны по северо-западу России и Беларуси, а в центральных областях почти не попадается. Если ваши предки — Шавровские, ищите корни в Псковской или Смоленской губернии: там фамилия не случайна, а привязана к карте.