Фамилия Шегапова — женская форма от Шегапов, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -ов указывает на классическую русскую патронимическую модель: «чей?» — «Шегапов», то есть сын или потомок человека по прозвищу или имени Шегап. Суффикс -ов, а не -ин, говорит о том, что основа не оканчивалась на -а/-я, что важно для понимания исходной формы.

Самая вероятная основа — прозвище Шегап, которое восходит к диалектному глаголу «шегать» или «шигать». В русских говорах, особенно северных и сибирских, «шегать» означает «ходить, шагать», часто — широко, размашисто, быстро, а иногда и «бегать, шнырять». Человек с таким прозвищем мог получить его за походку: ходок, скороход, непоседа. Сравните с фамилиями Шагалов, Шигаев — они из того же гнезда, с тем же корнем, но с разными суффиксами.

Менее распространённая, но возможная версия — связь с тюркским именем Шигап (Шигапутдин), вариант арабского Шихаб (звезда, метеор). В татарской и башкирской среде такие имена встречаются, и фамилия могла возникнуть при русификации: Шигапов → Шегапов через «аканье» или диалектное произношение. Однако для фамилии Шегапова эта версия слабее: ударение в русском варианте падает на второй слог (Шега́пов), а в тюркском обычно на первый (Ши́гапов). Если бы фамилия была тюркской, чаще встречалось бы написание через «и».

Географически фамилия Шегапов (и Шегапова) тяготеет к Поволжью и Уралу — регионам, где пересекались русские и тюркские говоры. Встречается в Татарстане, Башкортостане, Удмуртии, а также в Кировской и Пермской областях. Эта привязка поддерживает первую версию: в северных русских говорах слово «шегать» активно, и прозвище было естественным.

По сословной принадлежности точных данных нет, но модель на -ов — массовая крестьянская и мещанская. Шегаповы, скорее всего, были государственными или помещичьими крестьянами, получившими фамилию при переписях XVIII–XIX веков по имени или прозвищу отца. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Таким образом, Шегапова — фамилия, которая с высокой вероятностью родилась из живого народного прозвища Шегап, данного человеку за быструю ходьбу или суетливый нрав. Корень «шег-» роднит её с «шагать», и это не книжное, а диалектное, разговорное слово.