Фамилия Шереметьевмкий — редкий и, скорее всего, искажённый вариант написания. В русских источниках и архивных записях такая форма почти не встречается. С высокой вероятностью перед нами опечатка или диалектное переосмысление фамилии Шереметьевский или Шереметевский.

Если отбросить сомнительную букву «м», то основа становится прозрачной. Фамилия образована по модели притяжательных прилагательных с суффиксом -ск- (отвечает на вопрос «чей?» или «откуда?»). Корень — Шереметь-, восходящий к тюркскому имени Шеремет (или Ширим-бет). В татарском и других тюркских языках это имя означало «львиная морда», «храбрый», «богатырь». В русской среде имя Шеремет (Шереметь) было распространено в XV–XVII веках, особенно среди служилых людей и дворян. Самый известный носитель — боярин Иван Шеремет, от которого пошёл знатный род Шереметевых.

Фамилия Шереметьевский (а не Шереметьевмкий) могла принадлежать: - потомку человека по имени Шеремет, который получил прозвище по отцу («чей?» — Шереметьев, а затем добавили суффикс -ский, указывающий на благородное или служилое происхождение); - выходцу из населённого пункта с названием Шереметьево (таких сёл и деревень в России несколько — в Подмосковье, под Рязанью, в Тверской области). В этом случае фамилия указывает на географическое происхождение: «из Шереметьева».

С точки зрения словообразования, фамилия на -евский — типичный признак дворянских или духовных родов, реже — крестьян, переселившихся из одного села в другое. Суффикс -ск- в русских фамилиях часто маркирует более высокий социальный статус, чем простой -ов/-ев. Поэтому Шереметьевский (а не Шереметьев) мог носить помещик, священник или мещанин, а не крепостной крестьянин.

Что касается написания с буквой «м» — Шереметьевмкий — это, скорее всего, ошибка писаря или неграмотное произношение. В редких говорах встречается вставка звука «м» между гласными (так называемая эпентеза), но в данном случае это нетипично. Вероятнее всего, человек, ищущий фамилию, столкнулся с опечаткой в документе или переписью. Правильный вариант для дальнейших генеалогических поисков — Шереметьевский или Шереметевский.