Фамилия Шигаепова — женская форма, а её мужской вариант Шигаепов. В основе фамилии лежит тюркское личное имя Шигай, которое восходит к арабскому Шигаб (شهاب) — «метеор», «падающая звезда», «светоч». В татарской и башкирской среде имя Шигай было довольно распространено, особенно в XVI–XIX веках. Прибавление суффикса -ев (фонетический вариант -ов после мягкого согласного) указывает на модель образования, типичную для русских фамилий из тюркской среды: от имени отца. Таким образом, Шигаепов — буквально «сын Шигая».

Интересная деталь — в фамилии сохранился вставной звук «п» между корнем и суффиксом: Шигай + ев дало бы «Шигаев», но в живом произношении возникла форма Шигаепов. Такое явление — эпентетический (вставной) согласный — встречается в фамилиях на -ев, когда основа оканчивается на й, например, Андреев → Андреев (без вставки), но в некоторых диалектах или при адаптации появляется «п» для благозвучия. Это редкая особенность, отличающая фамилию от более частых Шигаев, Шигабутдинов.

Географически фамилия Шигаепов наиболее характерна для татар и башкир, проживающих в Республике Татарстан, Башкортостане, а также в Оренбургской и Челябинской областях. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках фамилия встречается среди государственных крестьян и тептярей — сословной группы, сочетавшей земледелие с несением повинностей. Значение имени-основы — «светоч», «сияющий» — могло придавать фамилии оттенок уважения: предок, носивший имя Шигай, вероятно, выделялся среди односельчан либо был рождён в праздничный или знаковый день.

В современных справочниках фамилия Шигаепова не относится к числу массовых, но сохраняет устойчивую региональную привязку. Если вы встретили эту фамилию за пределами традиционных татаро-башкирских территорий, скорее всего, речь о миграции XX века.