Фамилия Шкадина — женская форма, а её основа — мужская фамилия Шкадин. В русской традиции такие фамилии образовывались от прозвищ, реже — от мирских имён, и заканчивались на -ин, если основа оканчивалась на согласный. Разберём, что могло лежать в корне.

Самый прямой путь — от слова «шкада» или «шкода». В русских говорах, особенно южных и западных, «шкода» означает вред, убыток, шалость, а «шкодливый» — проказливый или пакостный. Прозвище Шкода (или Шкада, с акающим произношением) могли дать озорному, неспокойному ребёнку или человеку, который часто причинял мелкие неприятности окружающим. В украинском и белорусском языках слово «шкода» ещё более употребительно, так что фамилия могла возникнуть и на этих территориях. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — сын Шкоды, то есть Шкадин.

Менее очевидная, но возможная версия — связь с диалектным «шкат» (скряга, скупец) или «шкапа» (кляча, худая лошадь). В некоторых регионах «шкадой» могли назвать тощего, болезненного человека. Однако эта гипотеза слабее: слово «шкода» встречается в источниках чаще, и прозвище по характеру — самый распространённый тип для фамилий на -ин.

Географически фамилия Шкадина (и Шкадин) встречается в основном в центральных и южных областях России, а также в Беларуси и на востоке Украины. Это подтверждает акающий говор, где «о» переходит в «а»: «шкода» звучит как «шкада». В письменных источниках XVIII–XIX веков фамилия фиксируется среди крестьян и мещан, что типично для прозвищных фамилий — дворянство чаще образовывало фамилии по географическим названиям или через суффикс -ский.

Сравните с однокоренными: Шкодин, Шкодников, Шкодливый. Все они восходят к тому же корню, но Шкадина отличается именно акающим произношением, которое закрепилось на письме. Если ваш предок носил фамилию Шкадин, скорее всего, он был потомком человека с прозвищем, данным за шаловливый или неосторожный нрав.