Фамилия Шкадинская — редкая, и её разговор стоит начать не с корня, а с географии. Она явно происходит из польско-белорусско-украинского пограничья: суффикс -ский/-ская указывает на дворянское или шляхетское происхождение (в восточнославянской среде такие фамилии часто получали по названию поместья или местечка). В отличие от массовых русских фамилий на -ов/-ев, эта модель — признак того, что предок владел землёй или был приписан к определённому топониму.

Основа «Шкадин-» скорее всего происходит от названия населённого пункта. В документах встречаются деревни Шкадино (например, в бывшей Витебской губернии) и Шкады (в Подолье). Название этих мест, в свою очередь, могло пойти от прозвища Шкада — так в западных говорах называли человека с изъяном, «шкодливого» или просто «ущербного» (от польского szkoda — «вред, убыток», либо от диалектного «шкада» — «порча, изъян»). Вторая версия, менее вероятная, связывает основу с тюркским «шкада» — «подарок», но для польско-литовского ареала это нетипично.

Ударение в фамилии, судя по встречающимся носителям, падает на второй слог — Шкадинская, что подтверждает связь с топонимом (сравните: Смоле́нский, а не Смо́ленский). В написании возможна вариативность: в старых метриках нередко писали «Шкадынская» через «ы», но современная орфография закрепила «и».

Социально фамилия не массовая: в дореволюционных списках она встречается среди мелкопоместной шляхты Могилёвской и Подольской губерний, а также среди однодворцев — потомков служилых людей, которые после разделов Речи Посполитой оказались в крестьянском сословии, но сохранили фамилию на -ский. Носителей Шкадинской сегодня мало, и почти все они — выходцы из западных областей России, Беларуси и Украины.

Если ваши предки — Шкадинские, ищите их в метрических книгах костёлов или униатских церквей XIX века: там фамилия могла фиксироваться с польским окончанием -а (Шкадинска) или в мужском роде — Шкадинский.