Фамилия Сигайлюк — яркий пример украинской модели фамилии на -юк, распространённой на западе Украины, особенно в Волынской, Ровенской и Тернопольской областях. Суффикс -юк (как и -ук, -чук) в украинской ономастике означает «сын» или «потомок»: Сигайлюк — «сын Сигая» или «потомок Сигая». Основа фамилии — прозвище Сигай, которое образовано от глагола «сигати» — прыгать, скакать, бросаться. В украинских говорах «сигати» могло означать «быстро двигаться», «кидаться» или «перепрыгивать». Прозвище Сигай могли дать человеку подвижному, непоседливому, резкому в движениях, а возможно — тому, кто любил «сигати» через препятствия или часто менял место жительства.

Важно отметить, что в русских говорах схожий глагол «сигать» имеет те же значения, но фамилия Сигайлюк по своему суффиксу однозначно указывает на украинское происхождение. В белорусской традиции подобные фамилии чаще оформляются через суффикс -ик (Сигайлик), а в польской — через -ек (Сигалек). Таким образом, корень «сига-» встречается в нескольких славянских языках, но именно форма Сигайлюк закреплена за украинским ареалом.

Встречается также вариант с ударением на последний слог — Сигайлю́к, что типично для западных говоров. Если бы фамилия имела русское происхождение, она звучала бы как Сигаев (от имени или прозвища Сигай) или Сигачёв (от прозвища Сигач). В некоторых источниках можно найти версию, что Сигай — это вариант крестильного имени Сигизмунд, но она сомнительна: народная форма Сигизмунда в украинских землях — Зигмунт или Шигмунт, а не Сигай. Гораздо вероятнее, что прозвище связано с глаголом движения.

Социально предки носителей фамилии Сигайлюк, скорее всего, были крестьянами или казаками, а не дворянами — украинские фамилии на -юк редко встречаются среди шляхты, которая предпочитала формы на -ский. Фамилия не имеет ярко выраженной «верхней» истории, зато она плотно бытует в сёлах Волынского Полесья, где до сих пор встречаются люди с этой фамилией. Если ваши предки Сигайлюки — вероятно, они происходят из этого региона, и их прозвище могло быть дано за характер или привычку, а не за занятие.