Фамилия Синицгий — редкий и, скорее всего, искажённый вариант написания. В русском языке нормативная форма — Синицкий. Второе «г» в окончании (Синицгий) могло появиться из-за особенностей произношения в южнорусских или украинских говорах, где «к» перед гласным иногда озвончается, или из-за ошибки в документах при записи фамилии. В любом случае, основа фамилии одна — «синица».

Фамилия Синицкий (и её вариант Синицгий) относится к типичной модели образования с суффиксом -ск- (-цк-). Такие фамилии чаще всего указывали на географическое происхождение: предок мог быть родом из населённого пункта с названием Синица, Синицыно или Синичий. Такие топонимы встречаются в России, Беларуси и на Украине. Менее вероятно, хотя и возможно, что фамилию дали по прозвищу Синица, которое мог получить человек маленького роста, вертлявый или с громким голосом, напоминающим птицу.

Суффикс -цк- (фонетический вариант -ск-) в фамилиях был особенно популярен в среде польской шляхты и в западнорусских землях. Поэтому Синицкие — это не крестьянская фамилия с типичным -ов/-ев, а скорее фамилия, указывающая на владение землёй или происхождение из определённой местности. Владелец такой фамилии мог быть мелкопоместным дворянином, однодворцем или казаком.

В написании «Синицгий» буква «г» — это, скорее всего, артефакт. В старых метрических книгах, особенно когда их заполняли малограмотные писцы, фамилии на -ский/-цкий часто записывали на слух. В говорах с фрикативным [γ] (юг России, Украина) звук на стыке «ц» и «ий» мог восприниматься как «г», особенно в беглой речи. Так что Синицгий — это та же самая фамилия, что и Синицкий, но с «народной» орфографией.

Искать корни фамилии стоит по обеим формам. Если вы Синицгий — проверьте документы дореволюционного периода: скорее всего, ваши предки писались как Синицкие, а запись исказили при советской паспортизации. Фамилия не слишком распространена, что делает её носителей потенциально связанными общим предком из одного села или уезда.