Фамилия Синяговкий — редкий случай, когда написание расходится с произношением и логикой словообразования. В документах и устной речи чаще встречается вариант Синяговский, но именно форма на -кий указывает на возможные особенности происхождения или диалектную запись в метрических книгах. Если это не опечатка, а историческое написание, то перед нами фамилия, образованная от географического названия, скорее всего от топонима Синяговка или Синягово.

Корень здесь — «синяг», который восходит к прилагательному «синий». В славянской топонимике это часто указывает на цвет воды, растительности или почвы. Синяговкой могли называть речку с тёмной водой, заросший синеватым мхом овраг или просто место, где много синих цветов (например, васильков). Суффикс -овк- типичен для названий сёл и хуторов на юге России и Украине, а фамильный суффикс -ский закреплял за человеком прозвище по месту жительства: «он из Синяговки». Таким образом, предок носителя фамилии был, скорее всего, выходцем из населённого пункта с таким названием.

Вторая, менее вероятная версия связывает основу с прозвищем Синяга. В говорах «синягой» могли называть человека с синюшным цветом лица (от болезни или холода) либо того, кто носил синюю одежду. Однако в таком случае фамилия обычно принимала форму Синягин или Синягов, а не Синяговский. Географическое объяснение выглядит убедительнее, тем более что в Черниговской и Полтавской губерниях действительно фиксировались хутора с названием Синяговка.

Интересно, что в некоторых списках фамилия записана как Синяговский, и это норма для польской и украинской традиции, где суффикс -ский распространён шире, чем в великорусской. Форма на -кий могла возникнуть из-за редукции в произношении или при упрощении писарями. Если ваши предки происходят из западнорусских или украинских земель, то исходная фамилия — Синяговский, а Синяговкий — это её бытовой или канцелярский вариант. В любом случае, фамилия указывает на связь с конкретным местом, которое, вероятно, уже не существует или сменило название.