Фамилия Славинкая — один из тех случаев, где написание говорит о происхождении больше, чем звучание. Перед нами не опечатка и не вариация фамилии Славинская, а вполне самостоятельная форма, образованная по модели на -к(ой). Такие фамилии характерны для северных и центральных областей России — Архангельской, Вологодской, Костромской, а также для Сибири, куда их принесли переселенцы. Суффикс -к- в фамилиях на -ой (типа Славинкой, Кузнецкой) — это усечённая форма притяжательного прилагательного, которая застыла в именительном падеже. В говорах говорили не «он Славинский», а «он Славинкой», то есть «из рода Славиных» или «с хутора Славинки».

Основа фамилии — имя или прозвище Слава. Это могло быть сокращение от крестильного имени Вячеслав («большая слава») или Станислав («ставший славным»), а также от мирского имени Слав, которое давали ребёнку с пожеланием доброй молвы. В XV–XVII веках имя Слава встречается в писцовых книгах как самостоятельное, нецерковное. Таким образом, Славинкой называли потомка человека по имени Слава, а суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Славин, то есть сын Славы.

Географически фамилия редкая. В дореволюционных метрических книгах она встречается в основном на Русском Севере — в Вологодской и Олонецкой губерниях, где фамилии на -ой сохранялись дольше, чем в центральных губерниях. В современной России носители фамилии Славинкая рассеяны, но заметная часть живёт в Архангельской области и Красноярском крае. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был крестьянином или посадским человеком из северных земель, а сама фамилия закрепилась не позднее XVII века.

Сравнение с однокоренными фамилиями подтверждает этот вывод. Славин (без суффикса -ский) — более распространённая фамилия, образованная по той же модели «отчество от имени». Славинская — вариант с типичным дворянским или шляхетским суффиксом -ский, который часто приписывали себе выходцы из духовенства или мелкопоместные. Славинкая же — народная, диалектная форма, которая обошлась без книжного суффикса и сохранила живую речь предков.