Фамилия Слиньков происходит от личного прозвища Слинько, которое в старину играло роль неофициального имени. Основа прозвища — украинское слово «слинько», то есть «слюнтяй». Так могли назвать неопрятного человека или того, кто часто плакал, пускал слюни. Однако у этого корня есть и вторая версия: украинский глагол «слинути» означает «нестись», «мчаться». Если принять эту трактовку, прозвище Слинько закреплялось за человеком торопливым, стремительным, который всегда спешит. Какая из версий ближе к истине, сказать трудно: обе имеют право на существование, но первая, связанная со «слюнтяем», выглядит более естественной для прозвищ, которые часто давались по внешним или поведенческим недостаткам.

Сам формант -ко в прозвище Слинько — типичный украинский уменьшительно-ласкательный суффикс, который в фамилиях восточнославянского ареала часто переходил в русскую модель с окончанием -ов. Так и получилось: Слинько → Слиньков, то есть «сын Слинько», «потомок человека по прозвищу Слинько». Подобная схема образования фамилий — одна из самых распространённых на Руси, и Слиньков здесь не исключение, хотя сама основа встречается заметно реже, чем, скажем, Иванов или Кузнецов.

Письменная история родственных фамилий уходит в начало XVII века. В «Ономастиконе» С. Веселовского упомянут Слинкин Ждан, посадский человек, записанный в Твери в 1624 году. Это раннее свидетельство того, что прозвищная основа Слин-/Слинь- бытовала в центральной России уже четыреста лет назад. Сама фамилия Слиньков, судя по всему, оформилась чуть позже, когда прозвища окончательно закрепились за потомками в виде наследственных родовых имён.

Интересно, что фамилия Слиньков несёт в себе двойной смысловой заряд: с одной стороны, возможная связь с нелестной характеристикой «слюнтяй», с другой — альтернативная версия о быстроте и стремительности. В любом случае, за этим прозвищем стоял конкретный человек, чья индивидуальность оказалась настолько яркой, что окружающие запомнили его именно по этой черте, а его дети и внуки уже носили фамилию как память о предке.