Фамилия Слинков образована по самой распространённой в русском языке модели — с помощью патронимического суффикса -ов. Она указывает на происхождение от предка по имени или прозвищу Слинок. Основа фамилии — корень слин-, который встречается в нескольких древнерусских и диалектных словах, поэтому у фамилии есть две основные версии происхождения.

Первая и наиболее вероятная версия связывает фамилию с диалектным глаголом «слинять» — то есть сойти, уйти, исчезнуть, а также поблёкнуть, потерять цвет. В северных и сибирских говорах «слинкой» могли назвать бледного, бесцветного человека или, напротив, того, кто любит незаметно ускользать, уклоняться от дел. Такое прозвище давали либо по внешности, либо по характеру — нелюдимому или скрытному человеку.

Вторая версия менее распространённая, но тоже имеет право на существование: в некоторых южнорусских и украинских говорах «слинка» — это слюна, слюнка. Прозвище Слинок могли дать неряшливому, неопрятному человеку либо, в переносном смысле, слишком мягкому, бесхарактерному. Вряд ли стоит всерьёз рассматривать версию о связи с фамилией Слинкин (от Слинька, уменьшительной формы имени Василий через форму Васька — Слинька), так как это совершенно разные суффиксальные модели.

Фамилия Слинков — довольно редкая. Она встречается в основном в центральных областях России, а также в Поволжье, что типично для фамилий, образованных от диалектных прозвищ: такие прозвища редко выходили за пределы одного региона. По социальному составу Слинковы могли быть крестьянами или посадскими людьми, так как дворянских родов с этой фамилией в родословных книгах не зафиксировано.