Фамилия Слинко — редкий случай, когда модель образования важнее корня. В ней нет привычных русских суффиксов -ов, -ев или -ин, а есть украинский суффикс -ко. На востоке Украины и юге России такие фамилии давали без дополнительного оформления: Слинко — это и есть основа, а не Слинков или Слинкин. География бытования подтверждает это: фамилия встречается в Черниговской, Полтавской, Сумской областях, а также на Кубани и в Ставрополье, куда украинские переселенцы принесли свою ономастическую модель.

Основа «слин-» восходит к украинскому «слина» — слюна. В старых говорах это слово имело более широкий смысл: «слинка» могла означать не только слюну, но и слизь, мокроту, а в переносном значении — плаксу, нюню. Прозвище Слинко могли дать младенцу, который часто пускал слюни, или взрослому человеку с медлительным, вялым характером. В русских говорах есть параллели: «слюнтяй», «слюнявый» — те же смыслы, но с другим корнем.

Есть и альтернативная версия: от диалектного «слинка» — тонкая ветка, прут. В некоторых говорах так называли хворостину или лозину. Тогда Слинко — прозвище долговязого, худого человека, похожего на прут. Версия правдоподобна, но уступает первой по частотности: фамилий от названий частей тела и физиологических процессов в славянской ономастике значительно больше, чем от названий веток.

Обратите внимание на однокоренные фамилии: Слинкин, Слинько, Слинченко. Все они образованы от той же основы, но с разными суффиксами. Слинько — более точная украинская форма без отвердения согласного, Слинкин — русифицированный вариант с суффиксом принадлежности. Если ваши предки носили фамилию Слинко, скорее всего, они происходят из крестьянской или казацкой среды Левобережной Украины, где такие прозвища фиксировались в реестрах с XVII века.