Фамилия Слинчук образована по очень распространенной в украинской традиции модели: к основе добавили патронимический суффикс -чук, который изначально означал «сын такого-то» или «ученик, подмастерье». То есть Слинчук — это буквально «сын Слини» или «сын Слинька». Такая модель была особенно типична для Правобережной Украины, Подолья и Волыни, где фамилии на -чук встречаются едва ли не чаще остальных. Поэтому, хотя прозвище, легшее в основу, общеславянское, сама фамилия имеет четкую украинскую географическую привязку.

Что касается самого прозвища Слиня, то здесь есть две основные версии, и обе имеют право на существование. Первая отсылает к украинскому слову «слинько» — так называют человека медлительного, вялого, того, кого в других говорах зовут слюнтяем или мямлей. Прозвище в этом случае носило бытовой, ироничный характер: так могли дразнить нерасторопного ребенка или неторопливого взрослого, который все делал с ленцой. Вторая версия связывает прозвище с глаголом «слинути», то есть «нестись», «мчаться». Тогда прозвище Слиня, наоборот, получал человек быстрый, торопливый, вечно спешащий. Выбрать между этими версиями сложно: прозвища часто строились на противопоставлении или подмечали какую-то одну яркую черту, а в разных местностях одно и то же слово могло иметь противоположные оттенки.

В письменных источниках родственные фамилии фиксируются довольно рано. В «Ономастиконе» Степана Веселовского упоминается Слинкин Ждан, посадский человек, записанный в Твери в 1624 году. Это ценное свидетельство того, что прозвище Слиня и производные от него формы бытовали в русских землях уже в первой половине XVII века, причем не только в крестьянской, но и в посадской среде. Само прозвище со временем, как это часто случалось, полностью вытеснило первоначальное крестильное имя из повседневного обихода и закрепилось в документах как наследственное семейное имя. Так Слиня, а затем и Слинчук, из шутливого уличного прозвища превратился в официальную фамилию, которую мы знаем сегодня.