Фамилия Слободовская образована от названия населённого пункта с основой «слобода» — скорее всего, Слободка, Слобода или Слободовка. Таких сёл и деревень в России, Украине и Беларуси сотни, поэтому географию предка определить почти невозможно. Важнее другое: суффикс -ск- указывает на дворянское или шляхетское происхождение. В XIX веке фамилии на -ский/-цкий в крестьянской среде встречались редко — их чаще носили помещики, духовенство или выходцы из польской шляхты, которые брали фамилию по названию имения или местечка.

Разберём корень. Слобода в древнерусском языке — поселение свободных людей, освобождённых от части податей и повинностей. Жители слобод занимались ремеслом, торговлей или обслуживали княжеский двор. Прозвище Слобода мог получить человек, живший в такой слободе или переехавший оттуда. Но в фамилии Слободовская основа не прозвищная, а топонимическая: окончание -овская типично для притяжательных прилагательных от названий с суффиксом -ов- (Слободовка → Слободовский → Слободовская). По модели это родня фамилиям Бобровская, Петровская, Ковалевская — все они указывают на связь с конкретным местом.

В женской форме фамилия закрепилась, вероятно, через брак или наследование от отца. В документах XIX века встречается написание Слободовска — без мягкого знака, что характерно для украинской или южнорусской традиции. В польском варианте могло быть Słododowska, но русская огласовка сохранила полногласие «слобода», а не «слобода» с ударением на втором слоге.

Сословно фамилия чаще всего принадлежала мещанам или обедневшим дворянам, реже — однодворцам. Известных носителей с такой фамилией в истории почти нет, что говорит о её локальном бытовании. Если ваши предки носили Слободовскую, стоит искать корни в центральной России или на Украине — в местах, где слободы были массовым явлением, например, в Курской, Воронежской или Полтавской губерниях.