Фамилия Слодкий — редкий случай, когда написание расходится с произношением и привычным смыслом. На слух она звучит как «Сладкий», и это не случайно: в основе лежит то же древнерусское слово «слодъкъ» — «сладкий». Разница в букве «о» вместо «а» — это не ошибка и не описка, а отражение старого произношения, которое сохранилось в некоторых говорах и документах до XVIII века. В те времена писали так, как слышали, а «слодкий» — это фонетический вариант, который впоследствии закрепился в конкретной семье и перешёл в фамилию.

Модель образования типична для русских фамилий: прилагательное в полной форме (Слодкий) без суффикса -ов/-ев или -ин. Такие «чистые» прилагательные чаще всего встречались на юге России, в Белоруссии и на Украине, где фамилии вроде Сладкий, Толстый, Мокрый были распространены. Слодкий — это, скорее всего, украинская или южнорусская огласовка, где «о» в безударной позиции не перешло в «а», как в литературном языке.

Что значило прозвище «Слодкий»? Первое, что приходит в голову, — кондитерская тема: предок мог печь пряники, варить мёд или торговать сладостями. Но в народной культуре «сладкий» имело и переносное значение — так называли ласкового, приветливого человека, любимца в семье или общине. Второе значение — ироничное: «сладкий» могло быть прозвищем льстеца или того, кто слишком угодлив. В словаре русских фамилий Б. Унбегауна такие случаи описаны: прилагательное без суффикса часто закрепляло не ремесло, а черту характера или внешности.

Географически фамилия Слодкий редка. В современных базах она встречается единично, в основном на западе России и в восточных областях Украины. Спорных версий немного: иногда её путают с польской фамилией Słódki (от słód — «солод»), но это другая история — польский вариант связан с пивоварением, а не с сахаром. Для Слодкого более правдоподобна связь со вкусом, а не с солодом.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили в среде, где «сладкий» произносили через «о», а сама фамилия закрепилась за человеком либо с мягким характером, либо за тем, кто имел дело со сладким товаром.