Фамилия Сободаж — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В первую очередь она привлекает внимание необычным финальным элементом «-аж», который совершенно нехарактерен для типичной русской фамилии. В русском языке суффиксы -ов, -ев, -ин, -ский, -их/-ых образуют подавляющее большинство фамилий, а -аж — явный признак заимствования, чаще всего из польского или западноукраинского языков.

Скорее всего, в основе фамилии лежит польское слово «sobota» (суббота) или его производные. В польской ономастике существует фамилия Sobota, а также её варианты с суффиксами, например, Sobodaj. Если предположить, что исходная форма была Сободай или Сободзей, то при адаптации в русской среде конечный «-ай» мог перейти в «-аж» из-за особенностей произношения или записи. Таким образом, Сободаж — это фамилия, образованная от прозвища или имени, данного человеку, родившемуся или крещённому в субботу, либо связанному с этим днём каким-то иным образом (например, субботним базаром). В славянской традиции имена по дням недели встречались, хоть и не так часто, как календарные.

Словообразовательная модель здесь работает иначе, чем в русском языке. В польском суффикс «-aj» может указывать на деятеля или обладателя признака (сравните: «śpiewaj» — «пой»). В случае с Сободаж мы видим, вероятно, русифицированное окончание, которое закрепилось в документах. Географически фамилия могла возникнуть на территории бывшей Речи Посполитой — в западных областях современной Беларуси, Украины или в Польше, откуда носители могли переселиться в центральную Россию.

Однозначно сказать, что означало прозвище в быту, сложно. Но наиболее правдоподобная версия — связь с днём недели. Альтернативные гипотезы, например, происхождение от литовского корня со значением «сам» или от названия растения, выглядят натянутыми и не подтверждаются ни словообразовательной логикой, ни типичными для региона ономастическими моделями. В итоге, человек с фамилией Сободаж может считать, что его предок получил прозвище по субботе — дню, который в народной культуре часто ассоциировался с отдыхом, торговлей или особыми обрядами.