Фамилия Соленый (в написании через ё — Солёный) звучит как готовое прозвище, и это действительно её основа. Вопрос лишь в том, что именно прозвище означало. Самая прямая версия отсылает к нарицательному «соль»: предок мог заниматься солеварением или соляным промыслом, быть торговцем солью либо поваром, который щедро солил еду. В старину ремесло нередко становилось семейным именованием, поэтому такая трактовка выглядит естественной.

Однако у этого прозвища есть и менее очевидный, даже ироничный смысл. В псковских говорах слово «соленый» употребляли по отношению к неряхе, неопрятному человеку. Если принять эту версию, фамилия фиксирует не профессию, а характер или привычку родоначальника — так могли поддразнить человека, который не следил за собой. Обе гипотезы имеют право на жизнь, но первая, «профессиональная», выглядит убедительнее: она опирается на широкое распространение соляного промысла на Руси, тогда как диалектное значение более узкое и локальное.

Словообразовательная модель здесь простая и древняя. Фамилия оформлена как притяжательное прилагательное с суффиксом -ый, который напрямую отвечает на вопрос «чей?» — то есть «сын Соленого». Такая модель характерна для прозвищных фамилий, которые закреплялись за потомками без дополнительных патронимических суффиксов -ов или -ин. Впрочем, встречаются и родственные формы — Соленов, Солёнов, где тот же корень оформлен по более распространённому стандарту. Это говорит о том, что фамилия возникла в среде, где прозвище отца переходило к детям без изменений, что типично для северных и части центральных русских говоров.

Отдельного внимания заслуживает написание. Вариант с буквой ё — Солёный — точнее передаёт произношение и историческую основу, но в документах XX века ё часто заменяли на е, поэтому обе формы законны и обозначают одну и ту же фамилию. Если ваши предки писались через е, это не ошибка, а следствие делопроизводственной традиции.

Стоит добавить, что фамилия довольно редкая, и это косвенно подтверждает её прозвищное, а не искусственное происхождение: массовые фамилии обычно образовывались от частых имён или занятий, а здесь мы видим индивидуальную характеристику конкретного человека. Так что, независимо от того, был ли ваш предок солеваром или просто получил насмешливое уличное имя, фамилия Соленый хранит память о живом человеке и его окружении.