Фамилия Солякаев — хороший пример того, как в русской фамилии может скрываться тюркское или монгольское имя, переосмысленное через русский суффикс. Разберем её по частям.

Основа фамилии — «Солякай». Скорее всего, это русифицированная форма тюркского имени или прозвища. Корень «сол-» в тюркских языках часто связан с понятием «левый», «левша» или имеет значение «левый, неосновной» (например, в казахском «сол» — левый). В некоторых диалектах «сол» также означает «ленивый» или «неловкий». Вторая часть «-як/-ак» — распространенный тюркский уменьшительно-ласкательный или уничижительный суффикс (как в именах Исмак, Кунак). Таким образом, Солякай могло быть прозвищем левши, нерасторопного человека или младшего сына (как «левый» в значении «побочный»).

Русский суффикс «-ев» указывает на принадлежность: «чей?» — Солякаев. Это типичная модель для фамилий, образованных от прозвищ или имен, оканчивающихся на мягкий согласный или «й». По этой же схеме сложены фамилии Алексеев, Андреев, но в основе лежит не календарное имя, а бытовое прозвище.

Географически фамилия редкая и, скорее всего, имеет поволжское или уральское происхождение — в зоне контакта русского населения с татарами, башкирами или казахами. Встречается в Оренбургской области и Башкортостане. Социально предки Солякаевы, вероятно, были крестьянами или казаками, получившими фамилию по прозвищу, которое закрепилось за главой семьи.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным русским словом «соляк» (солончак, соленая почва или соленая рыба). Тогда Солякай — человек, живший на солончаке или торговавший соленой рыбой. Однако тюркская этимология выглядит убедительнее из-за характерного аффикса «-кай», который в русских говорах встречается реже, чем в тюркских именах (ср. Алтынбай, Толкай).

Итог: фамилия Солякаев — это отчество от прозвища Солякай, которое, скорее всего, означало «левша» или «ленивец» на одном из тюркских языков.