Фамилия Совеснова — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, не просто угадывается, а почти наверняка читается в её звучании. Самая прямая и убедительная версия: перед нами женская форма от фамилии Совеснов, а та, в свою очередь, произошла от прозвища Совесный. В русских говорах «совесный» означало «совестливый», «честный», «стыдливый». Человека, который отличался обострённым чувством справедливости и не мог поступить против совести, в деревне так и называли — Совесный. Прозвище давали не за показную добродетель, а за реальное качество характера, которое бросалось в глаза.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ов присоединялся к основе прилагательного, образуя притяжательную форму — «чей сын?» — Совеснов. Это фамилия сына Совесного. Женская форма Совеснова появилась как естественное грамматическое окончание, когда речь шла о женщине или когда фамилию фиксировали в метрических книгах для женской части семьи. В XIX веке в официальных документах женские фамилии часто записывали с окончанием -а, и Совеснова — один из таких случаев.

Встречается фамилия преимущественно в центральных и северных регионах России, где были сильны говоры с характерным произношением. Встретить её можно в старых переписях по Владимирской, Костромской и Вологодской губерниям. В некоторых говорах «совестный» произносили как «совесный» — отсюда и написание без буквы «т». Иногда фамилию путают с Совестновой, но это разные ветви: вторая восходит к прямому значению «совесть», а первая — к диалектной форме «совесь» или «совесной».

Других убедительных версий происхождения нет. Соблазнительно связать фамилию с названием реки Совесна или села, но топонимы с таким корнем в русской ономастике не зафиксированы. Скорее всего, перед нами именно прозвищная фамилия, и предок носителя был человеком, которого в округе знали как честного и порядочного — за это и запомнили.

Сейчас фамилия остаётся редкой, нечастотной даже по меркам русских фамилий. Её носители живут в основном в России, и, судя по открытым данным, наибольшая концентрация приходится на Нижегородскую и Ивановскую области.