Фамилия Сутковская — это женская форма фамилии Сутковский, а мужской вариант, в свою очередь, образован по географическому принципу. В основе лежит название населённого пункта с корнем «Сутк-»: скорее всего, это бывшее село или деревня Сутки (или Сутка). Такие топонимы встречаются в западных регионах бывшей Российской империи, особенно на территории современной Беларуси и Украины. Например, в Витебской области есть деревня Сутки, а в Житомирской — село Сутки. Суффикс «-овск-/-евск-» в фамилиях на «-ский» указывает на принадлежность к месту: Сутковский — значит «родом из Суток» или «владеющий землёй в Сутках».

Само слово «сутки» в русском языке означает период времени, но для названий поселений это значение вторично. В основе топонима, скорее всего, лежит древний гидроним (название реки или ручья) или диалектное слово. В славянских говорах «сутка» могло означать «узкое место», «сужение» (от глагола «сунуть», «совать»), либо «соединение», «стык» (от «ткнуть»). Поэтому село Сутки могло стоять на слиянии рек или в теснине. Также существует версия, что прозвище Сутка давали человеку, который работал без отдыха, «сутками напролёт», но для фамилии это менее вероятно: чаще фамилии на «-ский» образовывались именно от названий мест, а не от прозвищ.

Социальный статус первых носителей фамилии Сутковский был, как правило, шляхетским или мещанским. В Речи Посполитой, а затем в Российской империи, фамилии с суффиксом «-ский» считались дворянскими или «благородными» по звучанию, хотя на практике их носили и крестьяне, и однодворцы. Если ваши предки были Сутковскими, то с большой вероятностью они происходят из мелкопоместной шляхты или зажиточных крестьян западных губерний, которые получили фамилию по названию своего поместья или деревни.

В написании фамилии встречается вариативность: наряду с «Сутковская» возможен вариант «Сутковска» (если корни ведут в Польшу), но для русского языка характерно окончание «-ая». Фамилия не очень распространена, что говорит о её локальном происхождении — скорее всего, от одного конкретного села или рода. Если у вас есть возможность, стоит проверить метрические книги по Витебской, Минской или Волынской губерниям — там можно найти прямых предков.