Фамилия Свербейкин — редкий случай, когда разгадка лежит почти на поверхности, но при этом уводит в неожиданную сторону. Её основа — глагол «свербеть», то есть чесаться, зудеть. В старину это слово имело и переносное значение: «свербёж» означал не только кожный зуд, но и навязчивое желание, беспокойство, досаду. Человек, получивший прозвище Свербейка, мог быть либо вечно недовольным, въедливым, либо, наоборот, непоседливым и суетливым.

Суффикс -ейк- в русских прозвищах выполнял роль уменьшительно-пренебрежительного или характеризующего. Свербейка — это не просто «тот, кто свербит», а носитель яркого, даже раздражающего качества. Такие прозвища давали не столько за профессию, сколько за манеру поведения. В ономастике это типичная модель: Свербейка → Свербейкин. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «сын Свербейки». Фамилия закрепилась в форме, характерной для центральных и северных говоров, где -ин встречается чаще, чем -ов.

Любопытно, что в словаре русских фамилий Б. Унбегауна эта фамилия не упоминается — она действительно редкая. Скорее всего, она возникла не в дворянской или купеческой среде, а в крестьянской или мещанской, где прозвища цеплялись особенно прочно. Встречаются варианты написания через «о» — Сворбейкин, но это уже результат акающего произношения, когда безударное «е» звучит как «о» в некоторых говорах. Сравните с однокоренными Свербетовым или Свербихиным — они образованы от тех же корней, но по разным моделям.

Географически фамилия тяготеет к юго-западу России: единичные носители зафиксированы в Курской и Белгородской областях. Это не случайно — в южнорусских говорах слово «свербеть» и его производные были более употребительны, чем на севере. Если ваши предки были оттуда, прозвище Свербейка могло закрепиться за конкретным человеком, который либо постоянно жаловался на здоровье, либо был настолько деятельным, что его называли «свербящим» от нетерпения.