Фамилия Тадай — редкая и неочевидная с точки зрения русского словообразования. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский, которые сразу указывают на происхождение от имени или прозвища отца. Окончание -ай наводит на мысль о тюркских или кавказских корнях, и это первое, что стоит проверить.

Скорее всего, фамилия Тадай восходит к личному имени Тадай. Такие имена бытовали у ряда тюркских народов (например, у татар, башкир, кумыков) и могли означать «каменный», «твердый» или быть связаны с древним родовым тотемом. В некоторых диалектах «тадай» — это вариант слова «татай», то есть «дядя» или «старший родственник», что могло закрепиться как прозвище уважаемого человека. В русском контексте фамилия могла появиться, если крещеный татарин или башкир получил фамилию по своему мирскому имени, которое не попало в святцы. В этом случае модель образования — простейшая: бессуффиксная, когда имя стало фамилией без изменений.

Есть и менее вероятная, но возможная версия: фамилия могла возникнуть как прозвище от диалектного глагола «тадать» — так в некоторых русских говорах (например, в северных) говорили «гадать», «угадывать». Тогда Тадай — это человек, который «тадает», то есть ворожит или предсказывает. Однако эта гипотеза слабее: глагол редкий, а фамилии на -ай от глагольных основ в русском языке скорее исключение, чем правило (сравните «Ломай» или «Кричи»).

Географически фамилия Тадай встречается преимущественно в регионах Поволжья и Предуралья — в Татарстане, Башкортостане, а также среди переселенцев в Сибири. В центральных русских областях она почти не фиксируется. Это косвенно подтверждает тюркскую версию происхождения. Социально носители фамилии в XIX веке могли быть государственными или ясачными крестьянами, реже — мещанами, но точных данных по сословной принадлежности нет.

По сути, фамилия Тадай — это редкий случай, когда имя или прозвище не подверглось русификации через суффикс, а сохранилось в исходной форме. Для потомка это прямой ключ к этническим корням, скорее всего, тюркским, а не славянским.