Фамилия Тарарыкова — женская форма, а мужская, Тарарыков, образована от прозвища Тарарыка. В основе лежит глагол «тарарыкать» или «тарарычить», что в русских говорах означало «говорить быстро, без умолку, тараторить». Человек, получивший такое прозвище, был, скорее всего, болтливым, суетливым в разговоре или, наоборот, говорил невнятно и сбивчиво. В словаре Владимира Даля «тарарыка» — это пустомеля, болтун.

Модель образования простая: прозвище на -а/-я (Тарарыка) плюс типичный русский суффикс принадлежности -ов, указывающий на родство: «чей?» — «Тарарыков», то есть сын или потомок Тарарыки. По такой же схеме возникли фамилии Балабола, Болтунов, Пустомелев — все они характеризуют человека по манере речи. Но Тарарыков стоит особняком: корень «тарар-» звукоподражательный, имитирующий быстрый, дробный говор, похожий на треск или стук.

Географически фамилия редкая, встречается в основном в центральных и северных областях России, особенно в Вологодской и Архангельской губерниях, где диалектное слово «тарарыка» было хорошо известно. В дореволюционных переписях Тарарыковы — чаще крестьяне или мещане, реже — духовенство. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, что указывает на её однозначно народное, прозвищное происхождение.

Стоит отметить, что существует и вариант Тарарыкин — с суффиксом -ин, который тоже означает «сын Тарарыки», но образован от основы на твёрдый согласный (Тарарыка → Тарарыкин). Тарарыков — более стандартная форма, но обе фамилии — близкие родственники в ономастическом смысле. Если вы ищете корни, стоит обратить внимание на говоры Вологодчины: именно там прозвище могло закрепиться за конкретным родом.