Фамилия Татаирнцев — редкий пример, где трудности начинаются уже с прочтения: сочетание «ирнц» нехарактерно для русской морфологии. Скорее всего, перед нами искажение или диалектный вариант более привычной фамилии Татаринцев. Комбинация -нц- и последующий суффикс -ев указывают на стандартную модель образования от прозвища или названия жителя: основа + -ец + -ев (чей сын? — Татаринцев). В написании «Татаирнцев» буква «и» могла выпасть или переставиться при записи в документе (ср. просторечное «татарин» → «татаир»), а «р» и «н» поменялись местами под влиянием акающих говоров, где безударное «а» звучит как нечто среднее.

Если отбросить описку, этимология ясна: основа «татарин». В XV–XVII веках татарами на Руси называли не только представителей народов Поволжья и Сибири, но и любого служилого человека восточного происхождения, а также крещёных выходцев из Орды. Прозвище Татарин мог получить русский, который торговал с татарами, перенял их одежду или повадки, либо жил в татарской слободе. Фамилии на -инцев/-ынцев (Татаринцев, Татарынцев) типичны для южнорусских и украинских земель, где был активен суффикс -ец со значением «выходец из» или «сын такого-то». Татаирнцев, вероятно, — местный рязанский или тульский вариант, записанный на слух.

Стоит заметить, что в современных справочниках фамилия Татаирнцев почти не встречается. В переписях и метриках XIX века она могла существовать как окказиональное написание — результат неграмотности писаря или особенностей местного говора. Если ваши предки носили именно такую форму, это хорошая зацепка для поиска по архивам: ищите не только «Татаирнцев», но и «Татаринцев», «Татарынцев», а также варианты с двойным «т» (Тататрнцев — опечатка при переписывании). Географически фамилия тяготеет к чернозёмным губерниям, где оседали служилые люди из ордынских родов, со временем переходившие в крестьянское или мещанское сословие.