Фамилия Таянкова — женская форма, мужской вариант — Таянков. Она образована по самой распространённой в русском языке модели: к основе прозвища или имени (Таянк-) добавили суффикс -ов. Фамилии на -ов/-ев типичны для центральной России, Поволжья и севера, а вот география самой основы «Таянк» уже необычна.

Корень «Таян-» почти наверняка восходит к тюркскому личному имени Таян или Таянбай. В татарском, башкирском и казахском языках «таян» означает «опора», «поддержка». Имя с таким значением давали мальчикам, желая, чтобы они стали надёжной опорой для семьи. Уменьшительная форма Таянко (с суффиксом -к-, характерным для украинского и южнорусского имятворчества) могла появиться в среде переселенцев или казачества. То есть предок Таянковых, скорее всего, носил прозвище Таянко — либо по имени, либо по черте характера: «опора», «заступник».

Второй, менее вероятный вариант — связь с глаголом «таять». В северных говорах «таянка» могли назвать слякотную дорогу весной или человека, который «тает» на глазах (болезненного). Но для фамилий прозвища от природных явлений редки, а тюркская версия подкрепляется тем, что фамилии на -ов от тюркских имён — массовое явление в русском ономастиконе, особенно в регионах бывшего Казанского ханства и на Урале.

Фамилия редкая. В открытых справочных данных она встречается точечно: несколько семей Таянковых живут в Пермском крае, есть носители в Татарстане и Башкортостане. Это как раз совпадает с зоной распространения тюркских заимствований в русских фамилиях. Сословной принадлежности угадать невозможно: прозвище Таянко мог получить и крестьянин, и служилый человек, и казак.

Если коротко: фамилия Таянкова говорит о том, что ваш предок по мужской линии был человеком, на которого можно было положиться, — «опорой». Имя это дали ему, скорее всего, в тюркоязычной среде, а потом оно обрусело и закрепилось в форме отчества.