Фамилия Теглянков — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано с тканью, но не с той, о которой можно подумать в первую очередь. Вопреки интуитивному сближению со словом «тёглый» (тёплый), корень здесь иной. В основе лежит диалектное «тегля» или «теглина» — так в ряде южнорусских и украинских говоров называли грубый холст, мешковину, а также одежду из неё. Человек, носивший прозвище Тегля (или Теглянка), либо торговал этим дешёвым полотном, либо сам его ткал, либо, что вероятнее, постоянно ходил в одежде из такой материи — проще говоря, был бедняком, не имевшим средств на добротное сукно.

Суффикс -анк- в основе «Теглянк-» указывает на принадлежность к чему-то или характеристику по предмету: Теглянка — это и есть «та, что связана с теглей», то есть либо женщина, торгующая холстом, либо, по более распространённой модели, жена или дочь человека по прозвищу Тегля. Фамилия же образована по стандартной патронимической схеме на -ов: «сын Теглянка». Таким образом, Теглянков — потомок того, кого в деревне называли Тегля или Теглянко.

Встречается фамилия спорадически, без выраженного гнезда. Следы ведут в основном в бывшие южные губернии Российской империи — Курскую, Воронежскую, Харьковскую, а также на Дон. Там слово «тегля» было в ходу у крестьян и казаков, обозначая самую простую домотканину. Интересно, что в некоторых говорах «теглей» называли и ленивого, неповоротливого человека — возможно, из-за ассоциации с тяжёлой, грубой тканью, но эта версия менее убедительна, так как прямое предметное значение корня прослеживается чётче.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что Теглянков стоит в одном ряду с Теглевым, Тегленковым, Тегляевым — все они образованы от одного диалектного корня, но с разными суффиксами. Модель на -анк-ов встречается реже, чем на -ев или -ин, что делает фамилию более локальной и, вероятно, возникшей в среде, где ценилась не столько фамильная форма на -ин (от женских прозвищ), сколько указание на конкретного предка-мужчину, носившего прозвище Теглянко.

Никакой связи с тёплой одеждой или утеплением здесь нет — это ошибка народной этимологии, которая возникает из-за совпадения звучания с прилагательным «тёглый» в акающих говорах. На деле фамилия Теглянков — молчаливое свидетельство о будничной, небогатой жизни, о ремесле или социальном положении, зафиксированном в прозвище.