Фамилия Теребетская — редкая и, судя по суффиксу, имеет географическое, а не прозвищное происхождение. Формант «-ск(ий)/-цк(ий)» указывает на то, что фамилию образовали от названия населённого пункта: Теребет, Теребеты, Теребетово или что-то подобное. Такие фамилии в старину получали дворяне (по своим вотчинам) или, чаще, духовенство — при поступлении в семинарию многим меняли фамилию на «благозвучную» по названию села или местечка, откуда человек родом. Таким образом, первый носитель фамилии Теребетская (или её мужской вариант Теребетский) — скорее всего, выходец из места с корнем «Теребет-».

Теперь к корню. Самое вероятное объяснение — от слова «теребить». В говорах «теребет» или «теребень» могли называть участок земли, расчищенный от леса под пашню, то есть «тереблёное» поле. В этом случае топоним Теребеты мог возникнуть как название деревни, стоящей на таком расчищенном месте. Вторая версия, менее распространённая, но возможная, — от прозвищного имени Теребет, которое давали человеку суетливому, непоседливому, «теребившему» окружающих. Однако для фамилии на «-ский» прозвищная основа нетипична: такие фамилии почти всегда привязаны к месту.

Географически фамилия тяготеет к северо-западным и центральным областям России. В псковских и новгородских говорах слово «теребить» особенно активно, и там встречаются деревни с похожими названиями (например, Теребени, Теребетище). Встречается фамилия и на Украине, где могла возникнуть от аналогичного топонима. В любом случае, Теребетская — это фамилия-указатель: она отвечает не на вопрос «чей ты сын?», а на вопрос «откуда ты родом?».