Фамилия Теребий — редкая, и её разбор начинается не с корня, а с суффикса. Окончание -ий указывает на украинское или польское происхождение. В русской традиции такие фамилии обычно заканчиваются на -ов или -ин, а вот -ий (как у Теребий, а также у Березий, Шевчий) — это признак западнославянской или украинской модели, где фамилия не склоняется по падежам как прилагательное, а стоит в форме существительного или краткого прилагательного. В украинском языке это типично для фамилий, образованных от глагольных основ.

Корень здесь — «тереб-». В русских и украинских говорах глагол «теребить» имеет несколько значений: мять, дёргать, очищать (например, теребить лён или коноплю — отделять волокно от стебля). Отсюда и прозвище Теребий — скорее всего, человек, который занимался обработкой льна, трепал его, или просто непоседа, кто всё теребит в руках. Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным «теребить» в значении «брать, тащить, грабить», но это уже тянет на криминальное прозвище, что для фамилий не редкость.

Ударение, судя по модели, падает на последний слог — Тереби́й. Фамилия могла возникнуть в среде крестьян или ремесленников, связанных с льняным промыслом, который был широко распространён на Полесье и в центральной Украине. В польском языке есть аналогичное слово «trzebić» — чистить, вырубать, также возможно влияние польской основы.

Сравните с однокоренными фамилиями: Теребов, Теребилов, Теребков — все они от того же корня, но с разными суффиксами. Теребий стоит особняком: он короче, звонче и географически привязан скорее к западноукраинским или польским землям. В современных справочниках фамилия встречается единично, в основном на Украине и в южных областях России, куда переселялись украинцы.

Таким образом, предок носителя фамилии Теребий — либо льновод, либо человек с беспокойным, «теребящим» характером. Точнее определить без архивных записей трудно, но глагольная основа и суффикс говорят о том, что фамилия не дворянская, а народная, прозвищная.