Фамилия Теременко звучит на украинский лад, и это первая и главная подсказка. Суффикс -енко — типичный украинский патронимический формант, который означает «сын» или «потомок». В старой Украине такие фамилии давали по имени или прозвищу отца: Теременко — сын Терема. Но вот что скрывается за этим «Теремом» — вопрос не такой простой, как кажется.

Самая очевидная версия — основа от слова «терем», то есть богатый дом, хоромы. Однако вряд ли предка так прозвали за то, что он жил в тереме. Скорее всего, это переосмысление: прозвище Терем могли дать высокому, статному человеку, либо тому, кто строил терема — плотнику или зодчему. В этом случае фамилия профессиональная, хотя и не прямая: не «Плотниченко», а через образное прозвище.

Вторая, более правдоподобная версия, уводит в личные имена. В основе может лежать крестильное имя Терентий (от латинского Terentius — «трущий, молотящий»). В народном произношении оно легко превращалось в Терем или Терём. Тогда Теременко — это «внук Терентия», а сам суффикс -енко здесь работает как уменьшительно-патронимический. Эта версия подкрепляется тем, что фамилии на -енко от Терентия встречаются в украинских метриках XVIII–XIX веков (Теренченко, Терентьенко), а Теременко — их фонетическая разновидность, где корень стянулся.

Географически фамилия тяготеет к центральным и восточным областям Украины — Полтавщине, Черкащине, Сумщине. В России она редка и чаще всего встречается в приграничных с Украиной регионах (Курская, Белгородская, Воронежская области), куда переселялись украинские крестьяне. Сословно это почти наверняка крестьянский или казацкий род: фамилии на -енко в XVIII–XIX веках были массовым явлением среди свободного сельского населения, а не дворянства.

Спорный момент — могло ли быть в основе тюркское слово «тереме» (тополь) или «терем» в значении «свод, купол». Такая версия существует, но она слаба: для украинской ономастики тюркские заимствования в фамилиях на -енко — редкость, и без документальных подтверждений (например, записи о прозвище Терем у казака) это лишь догадка. Правдоподобнее всё же связь с именем Терентий или с прозвищем по занятию.