Фамилия Терешкина образована от просторечной формы Терешка мужского крестильного имени Терентий. Само имя Терентий восходит к латинскому слову «теренс» — «назойливый, утомительный», либо к греческому — «растирающий, молотящий хлеб». В основе фамилии лежит не полная, а именно уменьшительная народная форма, что сразу указывает на среду, где она возникла: так могли звать человека в быту, в семье, среди своих, а не в официальных документах.

Суффикс -ин в фамилии Терешкина — классическая русская модель, отвечающая на вопрос «чей?». Терешкина буквально означает «дочь или жена Терешки», а в более широком смысле — «из рода Терешки». Такая форма с суффиксом -ин чаще встречается в северных и центральных русских говорах, тогда как на юге и западе предпочтение отдавали суффиксу -ов. Поэтому по одной только фамилии можно предположить, что корни рода лежат где-то в верхневолжских или поморских землях.

Просторечная форма Терешка не была редкостью. От неё пошли и другие фамилии: Терешков, Терешонков, Терехин. Последняя, кстати, образована от ещё более краткого варианта Тереха. Терешкина стоит в этом ряду особняком: она сохранила именно ту форму, которую использовали в живой речи, а не в переписи. Это говорит о том, что фамилия закрепилась за родом довольно рано, когда церковное имя Терентий ещё активно бытовало, но уже обросло народными вариантами.

Вероятно, основатель рода Терешкиных был человеком из простого сословия — крестьянином или ремесленником. В дворянской среде такие уменьшительные формы не приживались, там предпочитали полное имя или фамилию от отчества. А вот в крестьянской среде имя Терешка звучало естественно и привычно, без намёка на пренебрежение. Потомок человека, которого звали Терешкой, со временем получил фамилию Терешкина, и она закрепилась за его детьми и внуками.

Интересно, что в некоторых говорах Терешкой могли называть не только Терентия, но и Трофима, и даже Терентия с ударением на второй слог — Терёшка. Отсюда и вариант написания через ё: Терёшкина. Обе формы сосуществуют и сегодня, и обе имеют право на существование. Разница лишь в том, какой диалект закрепил произношение в конкретной семье. Если ваши предки родом из рязанских или тамбовских краёв, скорее всего, писали через е; если из-под Вологды или Архангельска — через ё.

Фамилия Терешкина не относится к числу редких, но и не бросается в глаза частотностью. Она крепко держится в средней полосе России и на Русском Севере, встречается в Сибири, куда переселенцы увозили её в XIX веке. Сегодня носительницы этой фамилии могут встретить однофамильцев в любом регионе страны, но чаще всего — в тех местах, где когда-то жили их предки.