Фамилия Тимоук — редкий для русского уха случай, в котором славянская основа «завёрнута» в украинский суффикс принадлежности. На слух она кажется инородной, но на деле построена по простой и прозрачной модели: имя Тимофей → краткая форма Тимо → суффикс -ук/-юк, который в украинской ономастике означает «сын» или «потомок». То есть Тимоук — это «Тимофеев», но не в великорусской, а в малороссийской огласовке.

Корень здесь без вариантов: церковное имя Тимофей (греч. «почитающий Бога») дало множество уменьшительных форм, и Тимо — одна из них. Суффикс -ук характерен для Правобережной Украины, Волыни, Подолья, а также для юго-западных областей Беларуси. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили в селе между Житомиром и Хмельницким или в приграничных районах Брестчины.

Любопытно, что в отличие от фамилий на -енко (Тимошенко), которые встречаются повсеместно, вариант на -ук жёстче привязан к западной части Украины. В XIX веке крестьяне с такой фамилией редко попадали в ревизские сказки центральных губерний — это маркер оседлого крестьянства, а не беглого или переселенческого.

Никакой второй, «экзотической» версии у фамилии нет. Корень «тим» не связан ни с тюркскими, ни с балтийскими языками — это чисто календарное имя, которое на украинской почве сократили до предела и закрепили суффиксом. Так что Тимоук — это прозрачный отчественный именник, без тёмных пятен и спорных гипотез.