Фамилия Товстогон — редкий случай, когда прозвище буквально «вылеплено» из двух корней и сохранило свою внутреннюю форму почти без изменений. Она образована по модели сложения основ, характерной для украинских и отчасти польских фамилий: «товст-» (толстый) и «-гон-» (гнать). Если перевести на бытовой язык, Товстогон — это «тот, кто гонит толстое» или, точнее, «толстогон». В русском языке у такой модели нет прямых аналогов, зато в украинском она встречается: вспомните фамилию Непийвода («не пей воду»), а здесь — скорее характеристика человека или его работы.

Первое, что приходит на ум: прозвище могли дать бондарю или колеснику. Толстогон — это инструмент, которым натягивали обручи на бочку или колесо: «толстый» (массивный) «гон» (рычаг, приспособление для натягивания). Мастер, работавший таким инструментом, мог получить прозвище по орудию труда. Вторая версия — прозвище по характеру или поведению: «толстый» (грузный, медлительный) человек, которого «гонят» (торопят, заставляют двигаться быстрее). Третья, менее вероятная, — от названия животного: в некоторых говорах «товстогон» могли называть крупного быка или вола, которого погоняют.

Географически фамилия почти наверняка украинская или южнорусская. Суффикс -ов в Товстогонов (если такая форма существует) указывал бы на принадлежность роду Товстогона, но сама основа без суффикса — типичная для украинской ономастики, где прозвище нередко переходило в фамилию без изменений. В XIX веке носители фамилии встречались в Черниговской, Полтавской и Харьковской губерниях — это регионы, где бондарное и колёсное ремесло было распространено повсеместно.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» Товстогон не упоминается, но модель сложных фамилий-прозвищ (типа Вернигора, Кривошея) он подробно разбирает как характерную для Украины. Фамилия не получила широкого распространения, её носители — это, скорее всего, потомки одного или нескольких ремесленных родов. В современной России фамилия встречается редко, чаще в Краснодарском крае и Ростовской области — что подтверждает миграцию украинского населения в XIX–XX веках.

Если ваши предки носили фамилию Товстогон, с высокой вероятностью они были либо бондарями, либо колёсниками — мастерами, работавшими с деревом и металлом, без которых не обходилось ни одно крестьянское хозяйство.