Фамилия Товстокор звучит так, словно её обладатель с первого взгляда понятен без словаря. И это почти правда: она происходит от украинского или южнорусского прозвища, которое сложили из двух слов — «товстий» (толстый) и «кора» (корка, кожура). В буквальном смысле «толстая кора» — так могли назвать человека с грубой, огрубевшей кожей, либо того, кто работал с корой деревьев (например, драл лыко или кору для дубления кож). Но прозвища редко бывают прямолинейными: не исключено, что «Товстокор» иронично описывало упрямого, «толстокожего» человека, которого трудно пронять обидой или уговорами.

Словообразовательная модель здесь простая и типичная для украинских фамилий. Основа — прозвище Товстокор, а фамилия осталась без суффикса, то есть перешла в неизменном виде (так называемая «чистая» фамилия, распространённая в восточнославянских землях, особенно на Украине). В русской традиции такую фамилию могли бы «обрусить», добавив -ов: Товстокоров, но вариант без суффикса сохранился, что указывает на украинские корни носителей.

Географически фамилия привязана к регионам, где говорят на украинских говорах с характерным «товстий» вместо русского «толстый». Это Полтавщина, Черниговщина, Харьковщина, а также приграничные районы России, куда переселялись украинцы (Курская, Белгородская, Воронежская области). Встречаемость фамилии невысокая, что делает её отчётливо узнаваемой и редкой.

Сравнение с однокоренными фамилиями вроде Толстокожев, Толстокорый или Товстолуцкий показывает, что прозвища «на толщину» часто давали по внешности или по ремеслу. Но Товстокор стоит особняком: в нём нет намёка на животное («толстокожий» — о слоне или о бесчувственном человеке), зато есть конкретный образ — корка, кожура. Возможно, предок носителя занимался обработкой коры для плетения лаптей или для дубления, но за века точное ремесло стёрлось, оставив только меткое прозвище.

В сословном плане ничего определённого сказать нельзя: такие фамилии встречались и среди крестьян, и среди казаков, особенно в среде запорожских и слободских казаков, где прозвища давали яркие и ёмкие. Если ваши предки носили Товстокор, скорее всего, они были выходцами из малороссийских губерний, и фамилия эта — живое напоминание о том, как украинское слово может сохраниться в русском языке без перевода.