Фамилия Цивако — редкий случай, когда написание говорит о происхождении больше, чем корень. Она явно пришла с запада славянского мира: суффикс -ко (а не -енко или -ук) типичен для белорусских и украинских фамилий, особенно с территории современной Гродненской, Брестской или Волынской областей. В этих краях ударение часто падает на последний слог, и фамилия звучит как Цивако́.

Основа — «цива» или «цыва». В белорусских и украинских говорах это слово имеет два значения. Первое — «цыбуля» (лук), но в диалектах «цыва» могло означать луковую шелуху или вообще что-то мелкое, незначительное. Второе значение — «цыва» как вариант «цыба» (нога, особенно длинная и худая). В старину так могли прозвать долговязого, худого человека. Учитывая, что суффикс -ко образует прозвища (ср. Левко, Гринько), фамилия Цивако, скорее всего, и пошла от прозвища Цива́ — то есть «длинноногий» или, реже, «шелудивый» (по ассоциации с шелухой).

Менее вероятна, но возможна версия от личного имени. В некоторых польских и западноукраинских записях встречается имя Цива (Czywa) — возможно, сокращение от Целестин или от славянского имени с корнем «цив-» (ср. Цивиль). Но в русской ономастике такая версия считается гипотетической.

Встречаемость фамилии крайне низкая — она не входит в сотни самых частых фамилий ни в России, ни на Украине. Основной ареал — Брестская область Беларуси и прилегающие районы Волыни. В России носители Цивако — это, как правило, потомки переселенцев из этих мест в XX веке.

По социальному составу предки, скорее всего, были крестьянами или мещанами мелких местечек. Фамилия не дворянская, не книжная — она родилась в живой речи, в быту, и сохранила диалектный оттенок. Для этимолога она интересна именно тем, что её корень не застыл в одном значении, а позволяет угадывать внешность или занятие далёкого предка.