Фамилия Цунаева восходит к гидрониму Цунай — река в Сахалинской области России. Вероятно, основатель рода Цунаевых родился или долгое время жил на берегу этой реки. По другой версии, в основе фамилии Цунаева лежит прозвище Цунай, которое происходит от глагола диалектного глагола «цыновать», то есть «очищать лыко от коры, скоблить и подбирать пучками для плетения лаптей». В таком случае прозвище Цунай относится к числу «профессиональных» именований, указывающих на род занятий предка: изготовление лаптей или циновок. Возможно также, что прозвище ведет свое начало от слова «цюник» - так на Украине называют тростникового воробья. Исходя из этого можно предположить, что Цунаем человека нарекли за внешнее (миниатюрность, худоба, низкий рост) или по поведению (проворный, ловкий) сходство с воробьем. Наконец, не исключено, что прозвище связано с чеченским «цун» - «толокно» (мука, приготовленная толчением подсушенных и слегка поджаренных зерен овса). Возможно, предок Цунаевых был мельником или торговцем мукой. В результате, потомок человека, обладающего прозвищем Цунай, со временем получил фамилию Цунаева.