Фамилия Цукаева — женская форма, мужской вариант — Цукаев. Это одна из тех фамилий, чья основа вызывает споры у лингвистов, и здесь как раз интересно разобраться в деталях, а не просто найти один корень.

Самый вероятный путь — прозвище от слова «цукать», которое в южнорусских и украинских говорах означало «цокать», «щелкать языком» или «поощрять лошадь». Цукалой могли прозвать возницу, ямщика или просто человека с характерной манерой речи — того, кто «цокал» вместо «чокал» (например, «цай» вместо «чай»). Такое прозвище легко закреплялось за выходцами из регионов, где было распространено цоканье — смешение звуков «ц» и «ч». В пользу этой версии говорит и суффикс -ев: он типичен для фамилий, образованных от основ на мягкий согласный или на «ц» (сравните: Кузнецов, Стрельцов, а не Кузнецов или Стрельцов).

Есть и вторая гипотеза, менее распространенная: связь с тюркским именем Цукай, которое могло быть вариантом имени Чукай (от «чук» — «молоток» или «бойкий»). В таком случае фамилия — отчество, отвечающее на вопрос «чей сын?»: сын Цукая. Однако для русского уха и для грамматики фамилий Поволжья и Кавказа типичнее были бы формы Цукаев, а не Цукаев, и суффикс -ев здесь выглядит как раз русифицированное окончание. Поэтому версия с прозвищем и говорами кажется более органичной для исконно русской фамилии.

Географически Цукаевы чаще встречаются в Ростовской области, Краснодарском крае и на Северном Кавказе — то есть в зоне контакта южнорусских и тюркских говоров. Это не противоречит обеим версиям, но подчеркивает, что фамилия могла возникнуть в среде, где цоканье было нормой, а не ошибкой.

Словообразовательная модель проста: основа «цукай» (или «цукал») + суффикс -ев. Ударение, как правило, падает на второй слог — Цука́ев. Если бы основа была от тюркского имени с ударением на последний слог, фамилия могла бы звучать иначе. Так что самое прямое объяснение: предок носителя фамилии был человеком, которого за характерный говор или привычку покрикивать на лошадей прозвали Цукаем, а его дети стали Цукаевыми.