Фамилия Цукаев — один из тех случаев, где за привычным русским окончанием скрывается нерусская основа. Корень здесь не славянский, а тюркский, и чтобы понять значение фамилии, нужно разобраться с её словообразовательной моделью.

Суффикс -ев указывает на типичную русскую модель образования отчества или фамилии со значением «сын такого-то» или «принадлежащий такому-то». Основа же — Цукай. Это личное имя или прозвище, которое восходит к тюркскому слову «цука» (в разных диалектах — «чука»). В ряде тюркских языков (например, в кумыкском, ногайском, карачаево-балкарском) «чука» или «цука» означает «цыплёнок», «птенец». Прозвище Цукай могли дать маленькому, вертлявому или беззащитному человеку, либо, по обратной логике, — заботливому отцу, к которому дети «льнут как цыплята».

Есть и вторая, менее распространённая версия. В некоторых тюркских наречиях «цука» — это вариант слова «сука» (собака), но с уменьшительным оттенком. Однако эта гипотеза слабее: фамилии с прямым зооморфным значением «собака» в тюркской среде редки, а «цыплёнок» — вполне обычное ласкательное прозвище для ребёнка.

Географически фамилия Цукаев плотно привязана к Северному Кавказу, особенно к Чечне и Ингушетии. Это одна из распространённых вайнахских фамилий, причём у чеченцев она часто пишется с буквой «ч» — Чукаев. В русских документах XIX — начала XX века, при переписях и записях в метрических книгах, звук «ч» нередко передавали как «ц» (ср. фамилии Цуров, Цуциев), поэтому вариант Цукаев закрепился в русскоязычной среде.

Социальный контекст прост: фамилия не дворянская, не купеческая. Её носители — горцы, крестьяне, скотоводы, то есть основная масса населения Кавказа. Никаких следов в боярских списках или Родословных книгах Российской империи у Цукаевых нет. Это народная, «уличная» фамилия, которая стала официальной только в XIX–XX веках, когда власти начали массово фиксировать прозвища горцев в документах.

Таким образом, Цукаев — это «сын Цукая», а Цукай — человек, которого в детстве или за характер прозвали Цыплёнком. Фамилия живёт преимущественно на Кавказе, а её написание с «ц» — результат русской канцелярской транскрипции чеченского звучания.