Фамилия Цунько относится к распространенному типу украинских фамилий и образована от имени Тюня (Цуня). Имя Тюня представляет собой уменьшительно-ласкательный вариант имен Артамон, Артемий (оба имени в переводе с греческого означают «невредимый, здоровый») или Тимофей (в переводе с греческого «чтущий бога»). Под влиянием украинского произношения имя Тюня преобразовалось в Цуня. Последняя форма и легла в основу фамилии Цунько. Кроме того, существует версия, согласно которой фамилия Цунько образована от прозвища Цуня. В свою очередь оно связано с украинским нарицательным «цюник». Так на Украине называют тростникового воробья. Возможно, основатель рода Цуняк получил свое прозвище за какое-либо внешнее сходство с воробьем. Менее вероятно, что прозвище Цуня связано с другим значением слова «цюник» – «маленькая серебряная монета, найденная в земле». Такое прозвище мог получить богатый человек или человек, склонный к накоплению денег. Возможно также, что носитель этого прозвища имел отношение к чеканке монет. И вполне вероятно, прозвище Цуня восходит к украинскому «тюнiк», что значит - украшенная юбка или шлейф, которые надевают поверх основной юбки. Если придерживаться этой версии, можно предположить, что так называли портного, который изготавливал подобные юбки. Поэтому Цунько буквально понималось как «сын Цуни».