Фамилия Цыновкина — женская форма, исходная мужская — Цыновкин. Это относительно редкая фамилия, в основе которой лежит не имя и не географическое название, а прозвище или профессиональное занятие.

Разберём словообразовательную модель. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Цыновкин — «чей?» — сын или потомок Цыновки (человека по прозвищу Цыновка). Основа «цыновк-» родственна слову «циновка» — плетёная подстилка из соломы, камыша или лыка. В старых говорах встречались варианты «цыновка» и «циновка» без твёрдого знака, но написание через «ы» — обычная народная этимология, где звук «и» после «ц» воспринимался как твёрдый и передавался на письме соответствующей буквой.

Самая прямая версия происхождения: прозвище Цыновка могли дать мастеру, который плёл циновки, или торговцу, который их продавал. В крестьянском быту циновки были предметом первой необходимости — на них спали, укрывали товары, использовали как половики. Ремесло циновочника не было престижным, но кормило семью, и прозвище легко закреплялось за родом занятий. Вторая, менее вероятная версия: прозвище по внешности — человека с жёсткими, «соломенными» волосами или сгорбленной, «плетёной» фигурой могли в насмешку назвать Цыновкой. Однако в ономастике принято сначала искать профессиональную основу, а уже потом — метафорическую.

Географически фамилия Цыновкин встречается преимущественно в центральных и южных областях России — там, где было развито плетение из растительных материалов (Рязанская, Тамбовская, Воронежская области). В северных регионах, где использовали бересту и лыко, такая фамилия почти не фиксируется. Сословно носители фамилии почти наверняка были крестьянами или мещанами — в дворянских родословных книгах Цыновкины не значатся.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Циновкин, Цыновка, Циновка) показывает, что написание через «ы» — более архаичное и простонародное, оно лучше сохранилось в устной традиции. В документах XIX века могли писать и «Циновкин», и «Цыновкин» в зависимости от грамотности писаря.

Если коротко: ваши предки, скорее всего, были мастерами-плетельщиками или торговцами циновками. Фамилия — прямое указание на ремесло, которое в старину было обычным делом, а сегодня превратилось в редкий родовой знак.