Фамилия Тудай — редкий случай, когда фамилия почти наверняка не русская по происхождению, но прочно обрусела. Если вы её носитель, скорее всего, ваши предки пришли в центральную Россию из тюркоязычной среды, с Северного Кавказа или из Крыма. Разбирать её по схеме «отчество от крестильного имени» здесь бессмысленно — корень лежит в другой языковой семье.

В основе фамилии лежит тюркское личное имя Тудай. В тюркских языках оно восходит к корню «туд-» (держать, владеть) или к древнему титулу «тудун» — так называли наместников и сборщиков дани у хазар и в Волжской Булгарии. Имя Тудай могло означать «державный», «владеющий» или быть пожелательным — чтобы ребёнок вырос крепким хозяином. Встречается это имя у кумыков, ногайцев, балкарцев и крымских татар, а также у башкир и татар.

Фамилия оформлена без русского патронимического суффикса (-ов, -ев, -ин), что для фамилий тюркского происхождения в России редкость. Обычно такие фамилии «обкатывали» под русское ухо: Тудаев, Тудайлов. Сохранение формы Тудай указывает на относительно позднюю фиксацию фамилии (XIX — начало XX века) или на то, что предки были из среды, где фамилии записывали в «чистом» виде, без русификации — например, у горских народов или у казаков, контактировавших с тюрками.

С географией сложно: фамилия Тудай в современных российских базах встречается единично, разбросана по югу страны — от Краснодарского края до Оренбуржья. Это подтверждает версию о том, что фамилия не «выросла» в одном селе, а принесена мигрантами. Если ваши предки — донские или кубанские казаки, то Тудай могло быть прозвищем, полученным от соседей-татар, которое потом стало фамилией.

Однозначной версии о значении нет, но самая правдоподобная — от имени-титула «тудун». Вторая версия: от тюркского «тудай» — «разборчивый», «привередливый» в еде (диалектное слово у сибирских татар). Третья, совсем экзотическая — от «туд» (огонь в монгольских языках), но это маловероятно для фамилии, бытующей на Кавказе и в Поволжье.

Фамилия Тудай — не про древнюю русскую аристократию, а про живые контакты культур. В ней слышен отголосок степных дорог и пограничья, где русские, татары и горцы веками обменивались не только товарами, но и именами.