Фамилия Тянгаев — редкий пример, где основа, скорее всего, не славянская, а тюркская. В русских фамилиях суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?»), но корень «Тянга-» в славянских языках не встречается. Самое правдоподобное объяснение — происхождение от тюркского имени или прозвища Тянгай (Тангай, Тенгай). В тюркских языках корень «тян» (ten, tan) может означать «равный», «одинаковый», а также «кожа» или «тело». В сочетании с аффиксом -гай имя могло означать «крепкий телом» или «ровный, справедливый». Встречается и другая версия: от «тянга» (деньга, монета) — то есть прозвище человека, связанного с деньгами, сборщика податей или просто бережливого хозяина. Сравните с фамилией Тянгин, которая бытует в тех же регионах, и с казахским именем Теңай.

Географически фамилия Тянгаев привязана к Поволжью и Уралу. Чаще всего она встречается у татар, башкир и чувашей, а также у русских, живущих в Оренбургской, Самарской, Челябинской областях и Башкортостане. Это типичный регион, где русская фамильная модель (-ев) наложилась на тюркскую основу. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках по этим губерниям фамилия фиксируется с конца XVIII — начала XIX века, когда крестьянам и инородцам массово давали фамилии по отцу или прозвищу.

Словообразовательная модель проста: к основе Тянгай (или Тянга) прибавили русский патронимический суффикс -ев, что дало буквальное значение «сын Тянгая». Важно, что ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог — Тянга́ев, хотя в разных семьях могло закрепиться и на первом. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или на -й (Тянгай → Тянгаев).

Социальный контекст: носители фамилии в основном были государственными или ясачными крестьянами, реже — казаками. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. В советское время фамилия не получила широкой известности, но и не исчезла — сейчас её можно встретить в Татарстане, Башкортостане и среди мигрантов из этих регионов в крупных городах. Если у вас фамилия Тянгаев, ваши предки почти наверняка жили на стыке русской и тюркской культур, и само имя могло быть переосмыслено в крестьянской среде как «тянуть» (от глагола тянуть), но это народная этимология, а не историческая правда.