Фамилия Тягаев — одна из тех, где этимология лежит на поверхности, но при этом допускает разные смысловые оттенки. Основа здесь — глагол «тягать» (тащить, волочить, а также — в диалектах — работать тяжело, надрываться). Суффикс -ев указывает на патронимическое происхождение: Тягай — прозвище отца, а Тягаев, соответственно, «сын Тягая».

Ключевой вопрос: кого в старину называли Тягаем? Самое прямое объяснение — человека, который постоянно что-то таскает, возит, занимается ломовой работой. В крестьянской среде это могло быть прозвище бурлака, грузчика или просто нерасторопного, медлительного работника, которого всё приходится «тянуть». Однако есть и другая, более узкая версия: в русских говорах (особенно северных и сибирских) «тягаться» означало судиться, вести тяжбу. Тогда Тягай — это сутяжник, спорщик, человек, который постоянно ходит по судам, «тягается» с соседями или властями. Оба значения — и физическое, и социальное — могли дать прозвище, которое закрепилось в фамилии.

Географически фамилия Тягаев встречается не повсеместно, но имеет заметный след в Поволжье (особенно в Самарской и Ульяновской областях) и в некоторых районах Сибири. Это косвенно подтверждает связь с бурлацким промыслом: Волга была главной артерией, где «тягали» баржи. Встречаются Тягаевы и среди казачества, где прозвище могло относиться к человеку, тянущему лямку военной службы.

Интересная деталь: фамилия почти не имеет вариантов с другим суффиксом (вроде Тягагин или Тягайцев). Это говорит о том, что прозвище Тягай было достаточно устойчивым и распространённым именно в этой форме, а не в уменьшительной. В дореволюционных источниках фамилия фиксируется в основном в крестьянском и мещанском сословиях — среди тех, кто занимался физическим трудом или торговлей (где тоже нужно «тянуть» воз). Дворянских родов с такой фамилией нет — она осталась «низовой», народной.

Таким образом, Тягаев — это фамилия-характеристика, которая прямо указывает на род занятий или свойство характера предка. Спор между версиями «грузчик» и «сутяжник» решается в пользу первой, как более вероятной для основной массы носителей, но вторая остаётся возможной для отдельных ветвей.