Фамилия Тягаева образована от мужского варианта Тягаев, а тот, скорее всего, от прозвища Тягай. В основе лежит глагол «тягать» — в старых диалектах это слово означало «тащить, волочить, нести что-то тяжёлое». Прозвище Тягай могли дать человеку медлительному, неповоротливому, который «тягается» (то есть еле двигается), или, наоборот, работящему, берущемуся за любую тяжёлую работу. Второй вариант — от «тягаться» в значении «судиться, спорить, вести тяжбу». В этом случае Тягаем называли сварливого или сутяжного человека, любителя ходить по судам. Модель образования простая: к основе Тяга- добавился типичный русский фамильный суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Тягая). Фамилия сравнительно редкая, её географическое ядро — центральные и южные регионы России, особенно Поволжье и бывшие казачьи области. Встречаются варианты написания через «о» — Тягаев, но основная форма закрепилась с «а». Никакого отношения к тюркским корням или другим языкам фамилия не имеет, это чисто русская прозвищная фамилия, возникшая не позднее XVII века.