Фамилия Тютьмин — редкий случай, когда прозвище, скорее всего, образовано не от имени, а от глагола или существительного с нелестным, но бытовым значением. Основа здесь — «тютьма» или диалектный глагол «тютьмить». В русских говорах, особенно северных и уральских, «тютьма» означала нечто вялое, сонное, а «тютьмить» — делать что-то медленно, возиться, копаться. Человек, получивший прозвище Тютьма, мог быть медлительным, задумчивым или просто нерасторопным работником. Версия с тюркским корнем (например, от «тюте» — дым) маловероятна: суффикс -ин однозначно указывает на русскую модель образования от прозвища на -а/-я.

Суффикс -ин — один из самых распространённых патронимических суффиксов, но в данном случае он не указывает на отчество от крестильного имени. Он работает как притяжательный: «чей сын?» — Тютьмин, то есть сын Тютьмы. В этом смысле фамилия стоит в одном ряду с более понятными Грязнин, Соннин, Мямлин — все они образованы от прозвищ, описывающих характер или поведение. Важно, что ударение падает на второй слог: Тютьми́н, что типично для фамилий от основ с «мягким» окончанием.

Географически фамилия тяготеет к Вологодской и Архангельской областям. В этих краях диалектная лексика сохранялась дольше всего, и прозвища вроде Тютьма были в ходу у крестьян и ремесленников. В документах XVIII–XIX веков такая фамилия могла фиксироваться у государственных крестьян или мещан — сословий, где прозвища часто переходили в наследственные фамилии стихийно, без участия духовенства. Дворянских родов с фамилией Тютьмин не обнаружено, что подтверждает её «народное» происхождение.

Спорных версий здесь, по сути, нет. Иногда пытаются связать Тютьмина с тюркским «тютюн» (табак), но для этого пришлось бы предположить, что прозвище звучало как Тютюн, а суффикс -ин дал бы форму Тютюнин. Фамилия Тютьмин — именно русская, диалектная, и её корень лежит в живой разговорной речи, а не в заимствованиях. Если ваш предок носил её, он, скорее всего, был крестьянином Русского Севера, которого в деревне дразнили за медлительность — но прозвище прижилось и стало фамильным.