Фамилия Украйнский звучит как отсылка к стране, но в действительности её происхождение не связано с Украиной в современном понимании. Это типичная «географическая» фамилия, образованная по модели прилагательного с суффиксом -ск(ий), которая в русской традиции указывала на принадлежность к местности или населённому пункту. Основа здесь — «украйна», то есть окраина, пограничье. В древнерусском языке «украйна» означала край, границу, отдалённую землю. Так называли не только будущую Украину, но и любые окраинные территории Московского государства: например, «украинными» были города на южных и западных рубежах.

Фамилия Украйнский могла закрепиться за человеком, который жил на окраине села, города или целого княжества. Но более вероятно, что её носитель происходил из местности, носившей название Украйна — так в XVI–XVII веках именовали пограничные области Русского царства, в частности так называемую «Слободскую Украину» (нынешние Харьковская, Сумская области). Выходцы оттуда, переселяясь в центральные губернии, получали прозвание по прежнему месту жительства. Суффикс -ск(ий) в таких фамилиях чаще встречался у дворян или духовенства, но мог быть и у простых людей, особенно в южнорусских и малороссийских землях.

Интересно, что написание через «и» (Украйнский, а не Украинский) — не ошибка, а архаичная или диалектная форма. В старых документах слово «украйна» писали через «й»: «украйна», «украйный». Такое написание сохранилось в некоторых фамилиях, особенно у потомков казаков и крестьян из чернозёмных губерний. Это отличает фамилию от более поздних и «книжных» вариантов вроде Украинцев или Украинский, которые могли появиться уже после формирования украинской идентичности.

Редкий суффиксальный вариант — с -цк(ий) вместо -ск(ий) — встречается, но Украйнский как раз держится классической модели. Фамилия не слишком распространена: её носители встречаются в России, Украине и Беларуси, но численно уступают однокоренным Украинцев, Украинский и Укрэйн. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, был выходцем с пограничья — либо русского юга, либо западнорусских земель, где «украйна» была бытовым словом. Сословной привязки нет: фамилию могли дать и крестьянину, и священнику, и казаку.