Фамилия Улински — это, скорее всего, не русская, а польская фамилия, которую записали на русский лад. В польском оригинале она выглядит как Uliński (с «ń» на конце), и принадлежит к многочисленной группе фамилий, образованных от географических названий с помощью типичного польского суффикса -ski/-cki. Такой суффикс указывал на дворянское происхождение или, как минимум, на владение землёй: по-польски «z Ulin» означало «из Улина», то есть из поместья или села с таким названием.

Корень фамилии — «Ulin-» — восходит к названию нескольких населённых пунктов в Польше. Например, есть деревня Улин (Ulin) в Мазовецком воеводстве, а также село Улин-Вельки (Великий Улин) и Улин-Малы (Малый Улин) в Подляском воеводстве. Само название этих мест, вероятно, происходит от древнепольского слова «ul» (улей) или от личного имени Ула (сокращение от Уршула, то есть Урсула). В первом случае фамилия могла указывать на место, где держали пасеки, во втором — на владельца по имени Ула.

В русском контексте фамилия Улински встречается редко и, как правило, у потомков поляков, переселившихся на восток после разделов Речи Посполитой. В дореволюционных документах её могли записывать с окончанием -ский (Улинский), а в советское время — упростить до Улински, отбросив мягкость. Обратите внимание на ударение: в польском варианте оно падает на второй слог (Ули́нски), в русском часто смещается на первый (У́лински).

Сравните с однокоренными фамилиями: Улин (русская, без суффикса), Улиновский (украинская, с суффиксом -овский) и Улинец (белорусская). Улински стоит особняком именно из-за польского суффикса -ski, который в России почти всегда выдаёт шляхетские корни носителя, пусть и мелкопоместные. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из крестьян или однодворцев, которые когда-то владели землёй, но со временем её потеряли.