Фамилия Ункури — редкая и нестандартная для русского именослова. Она не вписывается в привычные модели на -ов, -ин или -ский, что сразу указывает на её позднее происхождение или иноязычную основу. Скорее всего, перед нами русифицированная форма фамилии, принесённой в Россию переселенцами, либо результат искусственного или канцелярского образования.

Наиболее вероятная версия связывает Ункури с грузинскими или молдавскими корнями. В грузинском языке «ункури» означает «крюк» или «багор» — слово, которое могло стать прозвищем человека с характерной внешностью (горбоносого, сутулого) или по профессии (рыбака, бурлака, кузнеца). В Молдавии и на юго-западе Украины встречается фамилия Ункуряну, образованная от того же румынского unc — «крюк». Русское окончание -и могло появиться при записи в документах: крестьянина или мещанина записали на слух, обрубив суффикс.

Менее правдоподобна версия о финно-угорском происхождении (от карельского или вепсского слова). Она не подтверждается географией: фамилия Ункури не встречается в массовом порядке в северо-западных регионах, где такие корни были бы ожидаемы.

С точки зрения словообразования, Ункури — фамилия «окаменевшая», без падежного изменения. Её носители, по всей вероятности, происходят из среды крестьян или мещан западных или южных губерний Российской империи, где в XIX веке активно фиксировали прозвища иноязычного происхождения. Сословная принадлежность была низкой: дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

В современной России фамилия остаётся штучной. Её обладатели могут обнаружить родственные связи с молдавскими или грузинскими предками, а также с однокоренными фамилиями Ункуряну, Ункуров или Ункурян.