Фамилия Варижук — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, не имеет однозначного толкования даже на уровне корня. Словообразовательная модель типична для западноукраинских и белорусских земель: суффикс -ук указывает на принадлежность к роду или на характерный признак (ср. Грищук, Ковальчук). Основа Вариж- не встречается в современных славянских языках как самостоятельное слово, поэтому этимологам приходится строить гипотезы.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию с диалектным глаголом «варить» или его производными. В говорах Полесья и Волыни «варяж» могли называть человека, который занимался варкой — соли, дёгтя, пива. Варка дёгтя (смолокурение) была распространённым промыслом в лесных районах, а солеварение — на Прикарпатье. Таким образом, первый носитель прозвища Вариж или Варижук мог быть ремесленником, работавшим с огнём и котлами.

Менее убедительна, но возможна связь с этнонимом «варяг». Варягами на Руси называли скандинавских наёмников или купцов. Однако в украинской и белорусской традиции это слово почти не использовалось, а суффикс -ук в сочетании с ним дал бы скорее Варяжук или Варягук. К тому же фамилия зафиксирована преимущественно в западных регионах, где влияние варяжского фактора исторически было минимальным.

Стоит обратить внимание на чередование ж/г в корне: в украинском языке «варити» даёт формы «варю», «вариш», но не «варяж». Возможно, исходным было слово «варяг» в значении «чужак, бродяга» (в некоторых южнорусских говорах так называли пришлых людей). Тогда Варижук — «сын или потомок варяга», то есть пришлого человека. Эта версия объясняет необычную огласовку, но требует дополнительных диалектных подтверждений.

Географически фамилия Варижук встречается в основном в Волынской и Ровенской областях Украины, реже — в Брестской области Беларуси. Это совпадает с ареалом распространения фамилий на -ук, что подтверждает её позднее (XVII–XVIII века) формирование в среде крестьянства и мелкой шляхты. Сословная принадлежность предков, скорее всего, была крестьянской или ремесленной — дворянские фамилии с таким суффиксом в этом регионе редки.

В итоге: если вы носите фамилию Варижук, ваши предки с высокой вероятностью жили на западе современной Украины или юго-западе Беларуси и занимались ремеслом, связанным с варкой — возможно, смолокурением или пивоварением. Точное значение прозвища остаётся предметом дискуссий, но «варщик» как основа выглядит убедительнее, чем «варяг».